中1の娘と「かけ算の順序」で親子談義

はやいもので、娘も中学1年生。
「かけ算」を知って、5年たちました。

そんな娘と、「かけ算の順序」談義タイム。

娘に、「かけ算の順序ってわかった?」ときいてみると、
「″ずつ”を先に書けばいいから、
 どういう式を書けばいいかはわかるけど、
 なぜ、それを先に書かなければいけないはわからない」
とのこと。

(ちなみに″ずつ”を先にというのは、娘の発見ではなく、
そのように指導されてのこと。)

そのことについて、うちでは「サッカーボールおじちゃん」
という愛称で呼ばれている v(^_^) tetragonさんに、
Twitterで質問してみた。
https://twitter.com/tamami_tata/status/537899016596369409

いただいたツイートを私なりに翻訳して伝えてみる。

えっとね、6人に4個ずつみかんを配ったとき、
全部のみかんの数を求める式をたし算で書くと、
4+4+4+4+4+4 ってなるよね。

この「4」が、“ずつ”にあたる数で、
「1つ分の大きさ」なわけよ。

で、日本では「1つ分の大きさ」を先にして、
かけ算の式を書くようになっているから、4×6と書く。

この説明で、どう?

ちなみに、ママがそう思っているってことじゃなくて、
サッカーボールおじちゃんの解説ね。

これに対して、娘、ひとこと。

「どっちでもいいんじゃない?」

そこで、tetragonさんの次のツイートを伝えてみた。
そうしたら娘、私はこう習ったと説明し始める。
そのままじゃなくて、翻訳して言うからね・・・
という前置きつきで。

「文章題のときに、式を反転させると、世界観が変わるから・・・」

ちょちょちょちょちょっと待って、
先生絶対、そんなこと言ってないから(翻訳しすぎ!)
と私が制するのをかまわずしゃべり続けようとする娘。

ちょっと面白すぎるから待って、と止める私。

・・・よし、ここまで書いたから続けていいよ。

「だから、お皿の数とか、物の数が、反転する、と。
 そういうことを習った気がする。」

私「2年生のとき?」
娘「いや、けっこう最近」
私「6年生?」
娘「たぶん」
私「どこで出てきた?」
娘「それが覚えてないんだ」

私「じゃあ、どっちでもよくないんじゃない?」
娘「んー、気分で決める、私」
私「いいの?気分で決めて」
娘「間違ったらそんとき」
私「間違うというのは?」
娘「バツがついたら、そんときはそんとき
  まあ、それが大事な試験なら、あー、と思うけど…」

私「じゃあ、日本と外国で違うってのはどう思う?」
娘「いいんじゃない、場所と言語が違うんだから」
私「じゃあ、日本ではこうなっているから、そうしましょう、
  と言われれば納得する?」
娘「・・・うん」

私「外国の子が日本に来たらどうする・・・?」
娘「ほら、なんとかにならえってあったじゃん」
私「郷に入らずんば郷に従え?」
娘「たぶん、それ」
私「じゃあ、本日の結論は、かけ算の順序は、
  郷にいらずんば郷に従え、でいいかな?」
娘「なんか納得できないな…」

私「どのあたりが納得できない?」
娘「なんか、簡単に出ちゃう結論はあまり好きじゃない」

私「じゃあさ、これ、どう?」
  (東京書籍2年下p.12[2]の
  「式にあう絵を選ぶ問題」を見せる)

娘「ああ、私これ、0点かも。中学生になっても…
  2年生で出てきたら、絶望するかもしれない」
私「どうして? “正しい式”は書けるでしょ?
  “正しい式”が書けるならだいじょうぶじゃない?」
娘「その“正しい”を信じちゃならん」
私「(笑)なんで?」
娘「いま、“正しい”について考えてるんだよね」
私「なにかそういう機会があったの?」
娘「あふれてるじゃん、機会って」

私「とりあえずやってみてよ」
娘「(東京書籍2年下p.12[2]を解く→全部「正解」)」

娘「よし、覚えたよ私。ママの説明でわかったよ。」
私「何がわかったの?」
娘「式のやり方」
私「そっか。じゃあさ、結論としてさ・・・
   かけ算の式の順序はあるの?」

娘「そんな簡単にわかっちゃったら、
  ここまで論争が広がってないよ。
  少なくとも私が学生という身分を卒業するまで続くよ」
私「予言なんだ」
娘「続かせなきゃ」
私「なんで?」
娘「だって、短時間で解決したものに
  ろくなものないって経験が語っています」
私「どんな経験してきたの??」
娘「私が易きに流れた結果です」
私「あー、そういうタイプだからねぇ… 」

娘「私はゆっくり時間をかけて味わって結論を出すタイプです。
  そうしないともったいないから。
  この際、結論、出なくていい。
  で、また、思い出したときに、結論を求めて味わえばいい。
  ねえねえ、きょうびの2年生の教科書にはマカロンがのってるの?」

私「おばさんか!・・・そっかぁ、ママも何年か前までは、
  結論出なくていいと思ってたんだけど、
  疲れてきちゃったんだよね。どうすればいい?」
娘「気が向いたときに考えたら?」
私「でも、いまがチャンスだと思ってるから」

娘「(学習指導要領は)何年ごとに変わるの?」
私「おおむね10年。今回は8年だけど。
  でも、文科省は、もっと大きな話してるんだけどね。
  …でさ、サッカーボールおじちゃんの説明わかった?」
娘「うん、まあ、わからなくはない」
私「じゃあ、学校の先生も、そう説明してくれればいいのにね。
  日本ではこうなってますって。」
娘「みんなそこまで気にしてないよ」
私「気にしてないのか・・・だね。
  ママもママ友とそんな話したことないや。」

娘「だいたい、何が問題だったの、最初」
私「テストで逆に書いて、バツにされて頭にきたって話。
  間違ってないのに。」
娘「意外と単純な理由だね」
私「だから、あとはあれだ、
  日本ではこうすることになっているということと、
  日本ではこうすることになっているからそうしなさい
  っていうところを、納得できるかどうかだね」
娘「うん」

私「つきあってくれてありがとう。
  ちなみに、きょうの話はいったん全部忘れてください。」
娘「なんで?」
私「ひとつの仮定だから」
娘「はーい」

以上です。


ありゃまぁ・・・

http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20120223/1329861595

失礼しましたm(__)m>長ネギ

あ、そうか、これも書いとかなきゃいけなかったんだ↓

「小数×小数」を、針金の長さと重さで学ぶ意味において、

ところで、ある1種類の針金の1mあたりの重さは、
これはこれで割合の仲間といえる。
しかし、「g/m」という、単位のある割合であり、
シュートの命中率のような割合とは異なっている。

と書きましたが、小学生用の教科書に、「g/m」など、
「△/○」の形の単位は出ていないと思います。



学校図書の小4の教科書について、きのうの補足

きのうの記事の最後で、

移行できるが、小4には難しく、
むしろ、「小数÷整数」に進むのがのぞましい、
という判断があるのだろう。

と書いたけれど、
判断したのは教科書をつくった人ではなく、
学習指導要領をつくった人なので、
この言い方はおかしかった。

学校図書は、「小数×整数」の段階から、
(いまはまだその必要はないのに)
「小数×小数」に発展できる素材を使って導入をはかっている、
と書くべきところだった。
 


小5の教科書の「整数×小数」を見て、なるほどねぇと思うの巻

現在、小4の娘は、小数のかけ算として、
「小数×整数」の形しか学習していない。

しかし、きのうの様子からもわかるように、
「整数×小数」にとまどうことはなく、
交換法則を使ってあっさり計算している。
交換法則という発想もないだろう。

学校で文章問題に対して、
先生の求める数値の順序の式が書けることと、
交換法則を受け入れているかどうかは、
別のことかもしれない。

むしろ、計算問題と文章問題との違いが、
とても大きいような気がしている。

さて、それはそうとして、
小5では「小数×小数」の前に
「整数×小数」をやるのかどうかが気になったので、
きのう、教科書センターで学校図書と東京書籍の教科書を
ざっと確認してきた。

やってます。

“いくつ分”にあたる数値が小数でも、
かけ算ができるよ、というノリで。

そのための問題設定に、いたく納得した私。

教材の仕事をするようになってしみじみ思うのだが、
教科書ってよくできている。
「うまくやっている」と言ったほうがいいかもしれない。

実は、「整数×小数」をやらずに、
「小数×整数」を復習したのち、
「小数×小数」にいっているかもしれない、
と想像していた私。
「整数×小数」を、割合の学習として扱うために。

しかし、ちゃんと(?)「整数×小数」もやっていた。
学校図書も東京書籍も、「リボンの値段」を使って。

なるほどねぇと思うことしきり。

1mの値段が80円のリボンがあって、
それを2.4m買うといくらか、というような内容。
(数字は適当)

何に「なるほどねぇ」と思ったかというと、
「整数×小数」の「整数」の側に、
人為的な数値をもってきているところ。

どういうことかというと、
「整数×小数」と「小数×整数」を大きく区別しない道
において、

ただし、「1mの重さが2.3gの針金の、4m分の重さ」と
「1mの重さが4gの針金の、2.3m分の重さ」を
分けて考えるのはアリだと思っています。

と書いたけれども、実際に
「1mの重さが4gの針金」という設定があるとすると、
私にとっては違和感がある。
もちろん、そういう針金だってあるだろうが、
数値としてきれいすぎる。
「はり金の重さ」は、「結果」の最たるものだと思うから。

つまり、こと整数に関しては、
「人間が設定した数値」のほうが、
リアリティがあり、問題として“自然”だと思うのだ。

教科書を作った人たちが
本当はどう考えているかはわからないけれど、
私はそのように受けとめた。

さらに言えば、東京書籍は、
小4の「小数×整数」の導入部分もうまいことやっている。
「0.3L入りのジュース8本分のジュースのかさ」
というような設定。(数字は適当)

学校図書の場合、はり金の重さと長さを使っており、
どちらも小数の数値が出せるけれど、
長さに関しては、「4m」という整数の数値を使っている。
たまたま「(整数)m」になっている、
と言ってもいいかもしれない。

一方、東京書籍のほうはジュースの本数なので、
あたりまえに「整数」になっている。

娘に出題したところ、後者のほうが反応がよかった。
おそらく、「1mの重さが○gのはり金」という設定が、
何かを混乱させるのだと思う。
そして、後者のほうが「整数×整数」のときと同じ
かけ算の発想につながりやすいのだと思う。

しかし、学校図書のように、
「小数×整数」の段階ではり金の長さと重さを使えば、
すぐに「小数×小数」に移行できる。

移行できるが、小4には難しく、
むしろ、「小数÷整数」に進むのがのぞましい、
という判断があるのだろう。
 ↑↑↑
この書き方はおかしいとあとで気づきました。>補足 



娘に「整数×小数」をやらせてみたら面白かったよ

私としてはある期待を込めて(予測を立てて)、
「4×1.5」という計算問題を出してみた。

しかし娘は予測に反して、

     1.5
  ×  4
 ---------
     6.0

と計算して、「6」と答えた。

次に、「6×0.5」を出すと、

     0.5
  ×  6
  ---------
         3.0

と計算。

学校で「小数×整数」を学習するまえに、
やらせてみればよかったなぁと思いつつ、
「1.2×0.8」を出してみると、

     0.8
  × 1.2
 ----------
         1.6
         8
  ----------
         9.6

と計算。
ここはそうなるよね、よしよし。 
ちなみに上下がひっくりかえっているのは、
これまでの流れによるものだと思われる。
でも、確か「1.2」を先に書いたと思う。

今度は「3×0.02」を出してみた。

    0.02
  ×  3
 ---------
    0.06

と計算。上下ひっくりかえした筆算をやらせてみても、

     3
 × 0.02
 ---------
    0.06 

と計算。

そこで・・・

「1mの重さが4gのはり金があります。
 このはり金1.5m分の重さは何gですか。」
という問題を出してみた。

最初、私の出題のしかたが雑で、
娘は「?」状態になったのだが、
補足説明をして状況を伝えたら、
こう計算した↓

(式)   4+2=6
(答え)  6g

 だよね 


きのうの追記

きのう、

かけ算の式の順序」を固定しないのであれば、
学習指導要領の変更が必要なのではなかろうか・・・
(02/17)

という記事を書きましたが、そもそも、

   A × B

の、Aを「被乗数」、Bを「乗数」と呼ぶのかどうか、
というところから議論せねばならないのですね・・・
うーん・・・

ということは、もしかすると、
変更すべきは、学習指導要領そのものではなく、
その解釈の仕方であり、
教科書の組み立て方なのかもしれないですね・・・

かけ算ってむずかしいなぁ。


「かけ算の式の順序」を固定しないのであれば、学習指導要領の変更が必要なのではなかろうか・・・

「0.2×4」と「4×0.2」は、何がちがうのか?
を自分で読みなおしてみて思ったのだけれど
(ちなみにTETRA’S MATHで
 もうちょっと突っ込んだ話書いてます>
たとえば、倍としてのかけ算を例にとって、
「0.2×4」を、「0.2の4倍」と解釈し、
「4×0.2」を、「4倍するところの0.2」と解釈するのであれば、
「0.2×4」と「4×0.2」は同じものであるだろう。

で、かけ算の式の順序にこだわることがおかしいとなれば、
当然、0.2×4 と 4×0.2 は区別しないはず。

となると・・・

学習指導要領をかえなくてはいけないのではないだろうか。

〔第4学年〕
http://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/new-cs/youryou/syo/san.htm#4gakunen
(5)ウ 「乗数や除数が整数である場合の小数の乗法及び除法の計算の仕方を考え,それらの計算ができること。」
 
〔第5学年〕
http://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/new-cs/youryou/syo/san.htm#5gakunen
(3)ア 「乗数や除数が整数である場合の計算の考え方を基にして,乗数や除数が小数である場合の乗法及び除法の意味について理解すること。」


もしかして、もうとっくに議論ずみ?


追記


花子で親子コラボ

娘が「コラボしよ〜」といって作った作品。
(コラボ相手>



ココからは、ぴまりんデス。
4番目の子が画像が違うのは、右向きにしようとして画像が変になったのを花子の機能の「シャープ」を使ったからです。
おきになさらず、よろしくお願いします
あと、ミカンの方は{四つミカンを縦に並べる}{グループ化}{コピー}{貼り付け}
そして、貼り付けをくり返していくのです。
花子愛好家の人はやってみてくださ〜い
これからも、{こどものちかく}を見てください



325を「三百二十五」と表す仕組み

    うわーん、
    軽やかに書くはずの「こどものちかく」が
    「TETRA'S MATH」なみにしつこくなってきちゃったよ〜
    でも、あちらの流れを変えたくないのと、
    なんとなくこちらに書きたいので、
    こちらで……


そんなこんなで、○進法の「底」のことが気になって、
命数法との関わりも知りたくてあれこれ検索していたら、
次のページに出会った。

私の流儀2進法と10進法の変換

おお。

この中で次のように書いてある。

ついでながら,漢数字では,“十三”であって,十という数を,一から九の他に設けており,桁の概念はない.もっとも,漢数字にも,(6) 式の掛け算に相当するものはある.即ち,“百二十三”などの“二十”の部分である.漢数字は,大きな単位から小さな単位の順に並べるが,それが逆転しているところ(“二十”)は,積を表している.つまり,漢数字では,桁ではなく,その桁を表す漢字を用意しているのである.
そうか。
考えてみれば、325は235とすると別の数になってしまうが、
三百二十五は二十三百五としても、とりあえず意味は通る。
何しろ、位そのものに十や百などの漢字が用意されているので。

そして、三百二十五にしろ二十三百五にしろ、
「大、小」の順で数が並んでいるところはたし算、
「小、大」の順で数が並んでいるところはかけ算と考えると、
3×100+2×10+5 や 2×10+3×100+5 となり、
325を表していることになる。
この場合、普通の数式と同じように、
かけ算が先ということが前提になっているのだろう。

しかし、一、二、三、…、九は「単位」なのだろうか?
感覚としては、十、百、千、万、億、兆、…は「単位」だが、
一、二、三、…、九は「数」という気がする。
なぜなら、十の3つ分を三十とはいっても、
二の5つ分を五二とは言わないので。
(考え方によっては「一」だけは
 省略している単位とみなせるか?)

しかも、漢数字による数の表記では、一、十、百、千と、
万、億、兆、…など4ケタごとの区切りで与えられた名前をもとに、
位を表すことになるのでさらに話はややこしい。
これをどう考えたらいいのだろう?

たとえば、325を 100×3+10×2+5 の順で、
「百三十二五」というふうに表す世界を考える。
この場合、200は「百二」、102は「百一二」と表すことにする。
ちなみに112は「百一十一二」。

これでいくと、2500万の場合は、
1000万×2+100万×5 と考えると
「千万二百万五」になる。

しかし、そもそも1000万は一万の1000個分、
100万は一万の100個分なので、
1000万=万千、100万=万百 となり、
2500万は「万千二万百五」となりそう。

しかししかし、
上記の方法では万が2つ出てくるのが気になるし、
もっと4ケタごとの区切りを活かしたいので、
2500万=1万×2500 とみなして、
「万千二百五」とすることを考えてみるとどうなるだろうか。

ところがこれだと、20000500つまり二千万五百が、
「万千二百五」となり、
2500万と2000万500が同じになってしまう。

うーむ。

2500万は本来、
「万(千二百五)」とかっこをつけたいところだ。
じゃあ、かっこの中身を先に書いて、
「千二百五万」としたらどうだろうか。
これなら、2000万500は
「千二万百五」になる。

ん?
 
この場合、340000は「十三四万」になるとして、
3万はどうなるのだ? 万三? 三万?

こんがらがってきたぞ〜

とにもかくにも、
この表記方法の世界は慣れればすむ話なんだろうか、
それとも、どこかで不都合が生じる話なんだろうか、
どっちなんだろうか?


五進法や二進法で数を表すとき

たくさんの飴がある。



数えてみると、42個。
この42個という表記をあらためて考えると、
10個ずつのまとまりが4つと、バラが2個あるということだ。

では、この飴を、5こずつのまとまりで考えてみる。
まず、飴を5個ずつ袋に入れる。



そうすると、8袋できて2個の飴があまる。
次に、袋を5袋ずつ、箱に入れる。
(“ずつ”といっても1箱しかできないのだけれど…)



そうすると、1箱に入れたあと3袋あまる。

つまり、42個の飴を5個ずつのまとまりで考えると、
25(=5×5)個入りが1箱と、5個入りが3袋と、バラ2個になる。

これを132と表すのが、五進法だよ〜〜

というふうに、家庭教師をしていたころ
中学生に説明していた記憶がある。

二進法も同じように説明したし、
実際に袋詰め作業をしたことがあったような気もする。
そして、今度は、五進法で表された31024や、
二進法で表された10010111がどういう数を表しているのか、
ということを学ぶことになる。

袋や箱の中身を消すと、もっとわかりやすくなるかもしれない。



中身を消すという発想は、
数教協いうところの「かんづめタイル」にあたる()。

上記のような五進法の考え方は、
小学校低学年で学ぶ十進構造の学習と基本的に同じだと思う。
うちの娘の場合、自分で袋詰め作業をするのは苦手。
こだわりか弱点か
また、次のような考え方をすることもあって、面白かった。
「20より おおきいかず」の導入部分

五進法や二進法を学ぶ頃には、
もうすっかり十進法をあたりまえのように使っているが、
十進法を学ぶ頃の子どもは、なんの○進法も知らない状態で
十進法を学ぶことになるのだから、思えばすごいことだな〜と思う。
しかし、十進法がすっかりあたりまえになっているからこそ、
五進法や二進法が難しく感じられるということもあるかもしれない。

ところで、325という数は、3×100+2×10+5というふうに
かけ算とたし算の組み合わせでとらえることができるけれど、
上記の五進法のようなプロセスで物の数を表すことを考えると、
かけ算とたし算の作業というよりは、
「あまりのあるわり算」の繰り返しの作業だと思えてくる。
 
実際、十進法で表された数を五進法や二進法で表すときには、
次のような方法で計算することも多いと思う。

   

ちなみにこの場合、(総量)から(いくつ分)を求める
いわゆる「包含除」とよばれるわり算になるのだと思う。
これに対し、(総量)から(1あたりの量)を求めるのが
いわゆる「等分除」になる。
もちろん、包含除・等分除といった除法の区別は
除法のひとつの見方・考え方であり、
こういう区別を認めない立場もある。>

なお、十進法なら10、五進法なら5、二進法なら2のことを
位取り記数法の「底(てい)」または「基数」と言うらしい。

(つづく)


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